Лемма о блоках

Два различных блока графа $G$ либо не имеют общих вершин, либо имеют единственную общую вершину, являющуюся точкой сочленения $G$.

Пусть компоненты двусвязности $G'$ и $G''$ графа $G$ имеют общую вершину $v$. Рассмотрим граф $\bar{G}$, состоящий из всех вершин и ребер графов $G'$ и $G''$. Граф $\bar{G}$ связан, но не двусвязен по определению блока. Следовательно, в $\bar{G}$ есть точка сочленения, и ей может быть только вершина $v$. Если удалить любую другую вершину из $G'$, то $G'$ останется связным. Тогда для любой оставшейся в $G'$ вершины $u$ найдется $(u, v)$-путь, а значит для любой вершины $w \in G''$ найдется $(u, w)$-путь, и $\bar{G}$ останется связным. При удалении вершины из $G''$ рассуждаем аналогично. Поскольку $v$ — точка сочленения, подграфы $G'$ и $G''$ не могут иметь других общих вершин: если такая вершина $v'$ есть, то граф $\bar{G} - v$ связан, поскольку любая его вершина связана с $v'$ в силу двусвязности графов $G'$ и $G''$. $\square$